kedže je tam uvedené "Faktúra" dala by som im to opraviť s tým, že to nespĺňa povinné náležitosti faktúry podľa zákona o DPH

Je to faktúra, nemáš tam uvedené údaje o odberateľovi, ktoré vyžaduje zákon - takže nemôžeš uplatniť DPH.

Nemôžeš tento doklad ani považovať za zjednodušenú faktúru lebo cena je viac ako 100 eur a tiež to nie je doklad z ERP - lebo nemá náležitosti dokladu z ERP.

Nie, nemôžeš. V podstate si mala udať údaje firmy. tj. ičo, dič. V rámci zákona - § 69 ods. 2 by ti alza vystavila doklad bez dane a ty by si urobila samozdanenie.
A v podstate je to chybne vyhotovený doklad od alzy, ale to preto, lebo si neposkytla ičo, dič a preto sa k tomu postavila tak, že vyhodnotila objednávku ako od občana a nie ako pre zdaniteľnú osobu, kde by sa prenášala daňová povinnosť.
V podstate odporúčam, ak si to dáš opraviť na firmu s identifikačnými údajmi, tak si to môžeš dať aj do nákladov a DPH bude vyrovnané samozdanením na riadky 09/10 a 21.

Alza dodatočne faktúru neopraví, a kým im pri objednávke nepošleš kartičku o pridelení IČ DPH tak ti IČ DPH nebudú písať na faktúre.

Ak by si aj mal správne uvedeného odberateľa tak sa jedná o samozdanenie - Alza.cz s.r.o. ale keby máš doklad z Alza.sk s.r.o. tak si môžeš daň odpočítať...